こんにちは！しまりす学園のぽんずです！
しまりす学園では数学が苦手な中学生に向けて、丸暗記じゃなくて仕組みから理解できる記事を書いています。家庭教師の経験があるぽんず先生が、苦手な子の気持ちに寄り添いながら一緒に考えていきます！
※このサイトの記事は分かりやすさや納得できるかに焦点をおいているため、学術的な正しさが担保されていないことはご了承ください🎓。
比例式って名前は聞いたことあるけど……「内項の積＝外項の積」って何それ。呪文？
わかルよ。名前だけ聞くとなんか怖いよね。
でも実は、あの天びんと同じ考え方なんだ！
前回の記事で「比」の基本をやりましたね。
今回はその続き。比例式の解き方と、「内項の積＝外項の積」がなぜ成り立つのかを仕組みから解説します。
もし下の記事をまだ読んでいなかったら是非読んでみてください！
こちらを先に読んでいただけたら、より今回の記事を理解できると思います！
比例式ってそもそも何？
そもそも「比例式」って、「比」とどう違うの？
「比」は２つの数の関係を表すものだよね。
「比例式」は、２つの比が等しいことを＝でつないだ式なんだ！
たとえば、こういう式が比例式になります！
あ、これって方程式に似てる？
鋭い！
片方の数をxにすると、方程式と同じようにxの正体を暴く問題になるよ。
内項・外項ってどこのこと？
比例式には「内項」と「外項」という言葉が出てきます。
位置で覚えれば一発です！
外側にいるのが外項、内側にいるのが内項ってことか！
そうです！
「外項は外側のa・d」「内項は内側のb・c」それだけだよ！
内項・外項のまとめ
a : b = c : d のとき
外項＝外側の a と d
内項＝内側の b と c
なぜ内項の積＝外項の積が成り立つの？
ここが一番大事なところです！
「内項の積＝外項の積」を丸暗記している人は多いですが、なぜ成り立つのかを知っておくと一生忘れません。
天びきの話を思い出してください。
＝でつながれた式は、両辺に同じことをしても等しさが保たれたよね。
それを使います！
②でいきなり分数になって焦ったかと思いますが、a:b は a/b と同じでしたよね！
ここに関しては前回の記事で解説しているので是非読んでみてください！
約分すると、bとdが消えて「ad = bc」が残ります。
③の部分がわからなかった方は是非こちらの記事を読んでみてください！
つまり「外項の積＝内項の積」は、分数の形にして両辺にbとdをかけた結果なんです。
このように計算していった結果、たまたま外側同士、内側同士を掛け算すると上手くいったという話なんですね！
呪文じゃなかった！ちゃんと理由があるんだ！
そうだよ。
天びんで両辺に同じことをするだけなんだ。
内項の積＝外項の積のまとめ
a : b = c : d のとき
a × d = b × c が成り立つ
理由：分数の形にして両辺にbとdをかけると導ける
実際に解いてみよう
では実際に比例式を解いてみます。
やることは1つ。「内項の積＝外項の積」を使って方程式に変換するだけです。
例題1：x : 3 = 8 : 6
これはただただ外側同士、内側同士をかけていくだけです！
一番オーソドックスなやり方になりますね。
例題2：4 : x = 2 : 5
xが外項に来ることもあるの？
あるけどやることは全く同じだよ。
「内項の積＝外項の積」で方程式に変換するだけ。
あ、xがどこにあっても同じやり方でいけるんだ！
そう！
「内項の積＝外項の積」を使えば、あとは今まで通りの方程式だね。
練習問題
では3問やってみましょう！
次の比例式を解きなさい。
x : 4 = 3 : 2
タップで答えを確認！
x = 6
タップで解説を確認！
内項の積＝外項の積を使います。
外項はxと2、内項は4と3です。
次の比例式を解きなさい。
5 : x = 10 : 6
タップで答えを確認！
x = 3
タップで解説を確認！
外項は5と6、内項はxと10です。
次の比例式を解きなさい。
(x + 1) : 3 = 4 : 2
タップで答えを確認！
x = 5
タップで解説を確認！
カッコごとひとかたまりとして扱います。
外項は(x+1)と2、内項は3と4です。
③がわからなかったら是非この記事を読んでみてください！
全部解けた！「内項の積＝外項の積」って使えば、あとは方程式と同じなんだね。
完璧です！
比例式は「変換して方程式にする」だけ。仕組みがわかれば全然怖くないでしょう。
まとめ
「内項の積＝外項の積」って呪文じゃなかった！仕組みがわかったら全然怖くないですね。
そう！天びんのイメージさえあれば、比例式も方程式と同じように解けるよ。
はい！ということで今回のまとめです。
まとめ
比例式とは、２つの比が等しいことを＝でつないだ式
外項＝外側の a・d ／ 内項＝内側の b・c
a : b = c : d のとき a × d = b × c
解き方：内項の積＝外項の積 → 方程式に変換 → 解く
比例式はこれで完璧です！
どんな形の比例式が来ても、「内項の積＝外項の積」で方程式に変換するだけ。
勉強なんて理解できればなんでもいいんですよ。
とにかく！
この記事が少しでも多くの人の学習の一助となればいいなと思っています！
一見複雑そうに見える数学ですが、意外と単純だったりもする。
そういうことをしまりす学園では発信していきたいなと思っています！
これからも少しでも多くの数学嫌いの方たちの助けになるような記事を書いていきたいと思うので、よろしくお願いいたします！
別の記事も読んでいただければありがたいです！
改めてここまで読んでくださりありがとうございました！
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