こんにちは！しまりす学園のぽんずです！
しまりす学園では数学や英語が苦手な中学生に向けて、丸暗記じゃなくて仕組みから理解できる記事を書いています。家庭教師の経験があるぽんず先生が、苦手な子の気持ちに寄り添いながら一緒に考えていきます！
※このサイトの記事は分かりやすさや納得できるかに焦点をおいているため、学術的な正しさが担保されていないことはご了承ください🎓。
先生、マイナスの足し算・引き算・かけ算・割り算は、もう1個ずつなら大丈夫になりました！
でも「-3+4×(-2)」みたいに、+とか-とか×とかが全部いっぺんに出てくると、もうどこから手をつけていいか分からなくて…頭が真っ白になります。
その気持ち、すごくよく分かるよ。
実は先生も中学生のとき、同じところでつまずいて、テストで盛大に✕をもらったことがあるんだ。
でも大丈夫。計算の順番には、ちゃんと「そうなる理由」があるんだよ。
今日はその理由から一緒に見ていこうね！
今回は、＋－×÷が混ざった四則混合の計算を、丸暗記ではなく「なぜその順番で計算するのか」という理由から理解していきます。
あわせて、正負の数を学ぶうえで欠かせない絶対値の意味も、図を使って丁寧に解説します。
これまでマイナスの足し算・引き算・かけ算・割り算を1つずつ見てきた人は、今回でそれが全部つながります。ゆっくり読んでいきましょう。
たし算とかけ算は、実は「別世界」の計算なんです
いきなりですが、質問です。
「3個のりんご」と「2匹の犬」って、足し算できますか？
え、それはできないですよ。りんごと犬なんて、種類が違いすぎます。
そう、それが今日いちばん大事なポイントなんだ。
たし算とひき算っていうのは、実は「単位がそろっているもの同士」でしかできない計算なんだよ。
ここでいう「単位」というのは、「個」「匹」「円」のような単位はもちろん、数字そのものの意味も含みます。
3個のりんごに2個のりんごを足せば5個のりんごになります。
これは「りんご」という単位がそろっているから成立します。
でも3個のりんごに2匹の犬を足しても、「5」という数字だけを出すことに意味がありません。
単位がそろっていないものは、そのままでは足したり引いたりできない。これがたし算・ひき算のルールです。
では、かけ算はどうでしょうか。
「りんご3個」を4倍したら、何個になる？
12個です。あ、でも「4倍」って、単位じゃないですね…？
鋭い！その通り。
「4倍」は単位じゃなくて「何回くりかえすか」を表す数字なんだ。
だからかけ算は、たし算みたいに単位をそろえる必要がないんだよ。
実はかけ算の正体は、同じ数のたし算を何回もくりかえすことを、1つの式にまとめたものです。
「3×4」は、「3を4回たす」という意味です。
つまり「3+3+3+3」を、短く書き直しただけなんです。
ここで、もう1段階だけ先の話もしておきます。中学3年生になると「累乗（るいじょう）」という、同じ数をかけ算だけを何回もくりかえす計算を習います。
「3の3乗（3³）」は「3×3×3」を短く書き直したものです。
ここまでの流れを整理すると、こうなります。
この図の読み方を説明します。
一番上の「たし算」が、すべての計算のスタート地点です。
そのたし算を何回もくりかえす作業を、短くまとめたのが「かけ算」。
そのかけ算をさらに何回もくりかえす作業を、短くまとめたのが「累乗」です。
つまり、かけ算や累乗は「まだたし算になっていない、圧縮された状態」なんです。
圧縮された状態のままでは、単位をそろえてたし算・ひき算をすることができません。
だから、かけ算や累乗を先に計算して「ただの数」にほどいてあげる必要があるんです。
これが、＋－×÷が混ざったときに×÷を先に計算する、いちばんの理由です。
なるほど…！×が先っていうのは、ただのルールじゃなくて、ちゃんと意味があったんですね。
ここまでのCHECK
たし算・ひき算は「単位」がそろっていないとできない
かけ算・累乗は「たし算を圧縮したもの」だから先にほどく
じゃあ結局、どの順番で計算すればいいの？
理由が分かったところで、実際のルールを整理します。
＋－×÷、そしてかっこや累乗が混ざった式は、次の順番で計算します。
この図の読み方を説明します。
数字の①〜④は、計算する「順番」を表しています。
大事なのは、これは「式を左から読む順番」ではないということです。
式全体をまず見渡して、「かっこはあるかな」「累乗はあるかな」「×や÷はどこにあるかな」と探しにいくのが正しい向き合い方です。
そのうえで、①→②→③→④の順番で、式の中の該当する部分だけを計算していきます。
ここで、ぽんず先生の失敗談を1つ話します。
「-3＋4×(-2)」という問題、先生は中学生のとき左から順番に計算しちゃったんだ。
「-3＋4」を先に計算して「1」。それに「×(-2)」をして「-2」。
これ、実は間違いなんだよ。テストで思いっきり✕をもらいました。
先生でも間違えるんですね…！じゃあ正しくはどう計算するんですか？
この式には「×」があるから、まずそこを先に計算するんだ。
この後の章で、一緒にちゃんと解いてみようね。
最後に、図の③にある「÷は×1/nに直して計算」についても触れておきます。
しまりす学園では、割り算を「÷」のまま計算せず、逆数のかけ算（×1/n）に直してから計算する書き方で統一しています。
たとえば「6÷2」は「6×1/2」と同じ意味です。
「÷」という記号のまま考えると、符号（プラスマイナス）のミスが起きやすくなります。
「×1/n」の形に直しておくと、符号のルール（同じ符号どうしはプラス、違う符号どうしはマイナス）が、かけ算のときと完全に同じルールで使えるので、迷いがなくなります。
だから÷も×の仲間として、同じ③のグループに入っているんです。
計算の順番は①かっこ②累乗③×÷④＋－
÷は×1/nに直すと、符号のルールがかけ算と同じになる
絶対値ってそもそも何？
ここで、もう1つ大事な言葉を紹介します。絶対値です。
絶対値は、記号では「｜ ｜」という縦線で数字をはさんで表します。
「｜-4｜」のように書きます。
絶対値…名前だけ聞くとちょっと難しそうです。
大丈夫、名前は難しいけど中身はとってもシンプルだよ。
絶対値は「0からどれだけ離れているか」という距離のことなんだ。
数直線をイメージしてみましょう。
この図の読み方を説明します。
横に伸びた線が数直線です。真ん中の赤い「0」が基準の場所になります。
オレンジの「-4」は、0から左に4つ分はなれています。だから絶対値は4です。
青の「3」は、0から右に3つ分はなれています。だから絶対値は3です。
マイナスの数の絶対値でも、答えにマイナスはつきません。距離はマイナスにならないからです。
ここで、注意しておきたいポイントが1つあります。
絶対値を求めるときは「符号を取っただけの数」になるので、見た目はとてもシンプルです。
でも計算の順番のルールの中では、絶対値の記号「｜ ｜」はかっこと同じグループとして扱います。
つまり、｜ ｜の中に計算が入っていたら、まずその中を先に計算してから絶対値を求めます。
絶対値は「0からの距離」。答えにマイナスはつかない
｜ ｜の中はかっこと同じで、先に計算する
実際に問題を解いてみよう！
理屈が分かったところで、実際に手を動かしてみましょう。
まずは、さっき出てきた「-3＋4×(-2)」を、正しい順番で解いてみます。
式を見たら、まず「かっこ」「累乗」「×÷」がないか探します。
この式には「×」があります。だから、まず「4×(-2)」の部分だけを先に計算します。
この図の読み方を説明します。
①でまず「4×(-2)」を計算します。符号が違う数どうしのかけ算なので、答えはマイナスになり「-8」です。
これで式は「-3＋(-8)」という、たし算だけの式に変わりました。
②で最後にたし算をします。マイナスどうしのたし算なので、絶対値（3と8）をたして、マイナスの符号をつけます。
答えは「-11」です。
もし先生の失敗のように左から順番に計算してしまうと「-2」という間違った答えになります。×を後回しにしないことが、いちばんのポイントです。
続いて、絶対値とかっこも入った、少し盛りだくさんな問題に挑戦してみましょう。
問題は「｜-4｜×1/2＋(-2-5)」です。
この式には、｜ ｜（絶対値）、かっこ、×、＋が入っています。
優先順位のルール通り、｜ ｜とかっこを先に片づけます。
この図の読み方を説明します。
①で「｜-4｜」と「(-2-5)」を、それぞれ先に計算します。｜-4｜は距離なので「4」。(-2-5)はマイナスどうしのたし算なので「-7」です。
②で「4×1/2」を計算します。答えは「2」です。÷ではなく×1/2の形で書いてあるので、そのままかけ算のルールで計算できます。
③で最後に「2＋(-7)」をたし算します。答えは「-5」です。
最後に、答えの検算をしておきましょう。
「2＋(-7)」は「2から7を引く」のと同じ意味です。2から7は引けないので、答えはマイナスになり、その大きさは「7-2=5」。だから「-5」で合っています。
練習問題で確認しよう！
ここまでの2問は、先生と一緒に解きました。
今度は自分の力だけで、下の2問に挑戦してみてください。全部おなじ手順でいきますよ。
①式の中に「かっこ」「絶対値」「×÷」がないか探す → ②見つけた部分から先に計算する → ③最後にたし算・ひき算で仕上げる。
この3ステップだけです！
次の式を計算しなさい。
-5 ＋ 3 × (-4)
タップで答えを確認！
-17
タップで解説を確認！
まず式の中に何があるか探します。「×」がありますね。だから「3×(-4)」を先に計算します。
符号が違う数どうしのかけ算なので、答えはマイナスです。
残った「-5＋(-12)」は、マイナスどうしのたし算です。絶対値（5と12）をたして、マイナスの符号をつけます。
答えは-17です。左から順番に「-5＋3」を先にやってしまうと、間違った答えになってしまうので注意してください。
次の式を計算しなさい。
｜-9｜ × 1/3 － (-6)
タップで答えを確認！
9
タップで解説を確認！
まず絶対値「｜-9｜」を、0からの距離として先に計算します。｜ ｜の中に計算がない場合は、そのまま符号を外すだけです。
次に×を計算してから、最後に「マイナスを引く」計算をします。マイナスを引くのは、プラスを足すのと同じ意味でしたね。
答えは9です。｜ ｜の中身がマイナスでも、絶対値の答えにはマイナスがつかないことを思い出せたでしょうか。
最初は頭が真っ白になったけど、「まず探す→ほどく→最後にたし算」の順番で見ればいいんですね！
そう、その感覚が身についたら、もうこの単元は卒業も同然だよ！
はい！ということで今回のまとめです。
たし算は「単位」がそろっていないとできない
計算順は①かっこ・絶対値②累乗③×÷④＋－
今回は、＋－×÷が混ざった計算の順番を、「なぜその順番になるのか」という理由から見てきました。
たし算・ひき算は単位がそろっていないとできない計算で、かけ算や累乗はそのたし算を圧縮したものでした。
だから圧縮された部分（かっこ・絶対値・累乗・×÷）を先にほどいて、最後にたし算・ひき算で単位をそろえる。これが計算順序の正体です。
絶対値は「0からの距離」で、答えにマイナスはつかないこと、｜ ｜はかっこと同じグループとして先に計算することも確認しました。
持って帰るのは一つだけでいいです。
それは「式を見たら、まず①かっこ・絶対値、②累乗、③×÷を探してから、④たし算・ひき算は最後」ということです。
これさえ覚えておけば、どんなに記号が混ざった式が出てきても、慌てずに1つずつほどいていけます。
今日紹介した「練習問題で確認しよう！」の2問を、答えを見ないでもう一度解き直してみてください。
自分の手で最後まで解ければ、この単元はもう大丈夫です。
一つひとつ理解を積み重ねていけば、必ず解ける問題は増えていきます！
ここまで読んでくださって、本当にありがとうございました！
わからなくなったら、いつでもこの記事に戻ってきてくださいね。
他の記事ものぞいてもらえるとうれしいです！
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