こんにちは！しまりす学園のぽんずです！
しまりす学園では数学や英語が苦手な中学生に向けて、丸暗記じゃなくて仕組みから理解できる記事を書いています。家庭教師の経験があるぽんず先生が、苦手な子の気持ちに寄り添いながら一緒に考えていきます！
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※このサイトの記事は分かりやすさや納得できるかに焦点をおいているため、学術的な正しさが担保されていないことはご了承ください🎓。
今回は因数分解について解説していくよ！
展開はできるけど、因数分解になると訳がわからなくなります…
因数分解。
中学3年生で習う単元ですが、ここで苦戦する方は本当に多いです。
いかんせんパターンが豊富で、使いこなすのが大変なんですよね。
ですが！
因数分解は、共通因数とバッテン方式の2つさえ覚えれば大丈夫なんです！
複雑だから数学は難しく感じる。
シンプルにすれば、なんてことないんです。
そして因数分解は展開と表裏一体なので、まずは展開を理解してから挑戦するのがおすすめです。
まだ展開が不安な方は、こちらを先に読んでみてください！
今日を機に、因数分解への苦手意識とおさらばしましょう！
ではよろしくお願いします！
因数分解とは
そもそも因数分解ってどういう意味なんですか？
何をしているのかさっぱりわかりません…
因数分解を一言でいうと、ある数や式を掛け算の形に変形することなんだ。
ある数や式を掛け算の形に変形すること。
と言われても、まだピンとこないと思います。
この意味を理解するために、まず因数という言葉から見ていきましょう。
因数とは、数や式を掛け算の形にしたときに、掛け合わされている一つ一つの数や式のことです。
簡単な例で言いますね。
15を掛け算の形にすると、3×5になりますよね。
この3と5が因数と呼ばれるものです。
つまり因数分解は「因数に分解する」ということ。
15＝3×5というこの形が、ある意味因数分解なんですね。
なぜなら、15を3と5という因数に分解できているからです。
そして、15という数が3×5という掛け算の形に変形されていますね。
これである数や式を掛け算の形に変形することという説明が、少しわかってきたと思います！
因数分解とはある数や式を掛け算の形に変形すること
因数分解と展開の関係性
そういえば、なんで展開を勉強してから因数分解を勉強するんですか？
因数分解は、展開のちょうど逆バージョンだからなんだ。
左から右が展開、右から左が因数分解
そうなんです。
因数分解は展開の逆。
たったこれだけなんです。
上の数式を見てください。
右から左の操作が因数分解ですが、しっかり (x+2) と (x+5) の掛け算の形になっていますね。
そしてもちろん、左から右の操作が展開です。
なので、まず展開を理解して、その上で展開でやったことの逆をしてあげる。
これで因数分解はマスターできるんですね。
因数分解は展開の逆なんですね！
でも、どうやったら右の状態から左の式にできるんだろう？
それをこれから説明していくよ！
因数分解のやり方は2つだけ
因数分解の方法は、世の中では5つあると言われているよ。
こんなにあるんですか…やる気がなくなります。
安心して。
こんなに覚える必要はなくて、たった2つだけでいいんだ。
因数分解で覚えるべきは、たった2つ！
これは数学が苦手な方には朗報なのではないでしょうか？
では、何を覚えればいいのか。
それは、共通因数とバッテン方式の2つです！
「そいつら何ですかい？」と思った方、次でそれぞれ説明するのでご安心ください。
① 共通因数
1つ目は共通因数です。
さっき、因数は「掛け算で表したときの一つ一つの数や文字」だと話しましたね。
3×5＝15の3と5のことです。
その因数が共通している、というのが「共通因数」という言葉の意味なんです！
言葉だけだとわかりにくいので、実際の例で見てみましょう。
上の式は共通因数で因数分解した例です。
どうやったか、順番に見ていきます。
まずは5xと10を、それぞれ掛け算の形に直してみます。
5xは「5×x」、10は「5×2」の掛け算に直せますね。
図を言葉で説明すると、5xと10をそれぞれ掛け算にバラしたら、どちらにも「5」がいたということです。
そう、この5が共通因数です！
あとは、その5を前に抜き出して、計算すると5x+10に戻るようにしてあげます。
やり方は、余ったxと2を足し算でつなげて ( ) で閉じるだけ。
共通の因数を見つけて、余りものを足し算でつなげて ( ) で閉じる。
これで共通因数はクリアです！
そして因数分解は、まずこの共通因数があるかどうかを確認することから始まるので、覚えておいてください。
② バッテン方式
バッテン方式って何？と思った方が100%な気がします。
なぜなら私が命名したからです。
実は高校数学で「たすきがけ」と呼ばれる手法とほぼ同じものなのですが、親しみやすいようにバッテン方式と呼んでいます。
ただ、いきなりやり方から入るのはやめておきます。
先に「因数分解って結局、何をしている作業なのか」を絵で見てもらったほうが、この後の話が100倍わかりやすくなるからです！
因数分解は「面積から縦と横を探すパズル」
展開の記事で、(x+3)(x+8) を大きな長方形の面積として考えましたね。
縦が (x+3)、横が (x+8) の長方形を4つの部屋に分けると、面積は x²、8x、3x、24 の合計になる、というあの話です。
まだ読んでいない方はこちらからどうぞ！
つまり展開は、縦と横がわかっていて、中の面積を求める作業でした。
では因数分解は？
展開の逆なので…
面積だけ渡されて、「縦と横は何だった？」を逆に探すパズルなんです！
図を言葉で説明しますね。
左が展開です。
縦 (x+3) と横 (x+8) がわかっているので、4つの部屋の面積（x²、8x、3x、24）を求めて、足せばおしまいでした。
右が因数分解です。
今度は面積の合計 x²+11x+24 だけを渡されて、縦と横の「？」を探すのが仕事になります。
同じ長方形を、逆方向から見ているだけなんです！
そして「？」を探すヒントは2つあります。
左上の部屋が x² だから、縦と横の最初は x と x。
右下の部屋が 24 だから、残りの「？」は掛けて 24 になる2つの数。
ただし！
掛けて24になる組み合わせは、1と24、2と12、3と8、4と6…と何個もあります。
その中から、残り2部屋（？の部屋）の面積を足したら真ん中の 11x になる組み合わせを選ばないといけません。
つまり因数分解の正体は、「掛けて24、足して11」になる2つの数を探すパズルだったんです！
因数分解＝面積から縦と横を逆に探すパズル
探すのは「掛けて右下、足して真ん中」になる2つの数
面積図をギュッと圧縮したのがバッテン方式
パズルなのはわかったけど、毎回この長方形を描くのは大変そう…
いいところに気づいたね！
その面積図をギュッと圧縮したメモの書き方が、バッテン方式なんだ。
そうなんです。
毎回マス目を描くのは正直めんどくさい。
そこで、長方形の「縦」と「横」の部分だけを取り出して、縦に2段並べたメモにしてしまいます。
それがバッテン方式です！
x²+11x+24 を例に、実際のやり方を見てみましょう。
図を言葉で説明します。
手順は3ステップです。
ステップ1：左の列に、掛けて x² になるもの（xとx）を縦に書く。
ステップ2：右の列に、掛けて 24 になるもの（＋3と＋8）を縦に書く。
ステップ3：バッテンに掛け算して（3xと8x）、足して真ん中の 11x になるか確認する。
11xになったので成功！
あとは横の2段をそのまま ( ) で囲えば、(x+3)(x+8) が答えです。
そして、なぜバッテンに掛けるのか。
それはさっきの面積図を思い出せば一発です。
面積図で「？」の2部屋（真ん中の11xのもと）は、縦の x × 横の＋8、縦の＋3 × 横の x という、ナナメの組み合わせの掛け算でしたよね。
長方形の縦と横を2段のメモに圧縮すると、そのナナメの掛け算がちょうどバッテンの形になるんです！
つまりバッテン方式は謎のテクニックではなく、面積図の省略形だったということですね。
実際は試行錯誤しながら探す
「掛けて24になる組み合わせ」は複数あるので、実際は一発で当たるとは限りません。
まめきちに実際にやってもらいましょう。
左の列は、掛けて x² になればいいから x と x か…
右の列は、掛けて 24 になればいいから…4 と 6 かな？
バッテンに掛けると 4x と 6x。
足すと 10x。
あれ？11x にならないといけないのに、なってないじゃん！
x の部分は変えようがないから、右の列を変えるしかないな…
掛けて 24 になる組み合わせは、3 と 8 もあるか！
もう一回。バッテンに掛けると 3x と 8x。
足すと…11x！元の式と一致した！
完璧！
この「ハズレたら右の列を差し替える」という試行錯誤こそ、因数分解との正しい向き合い方だよ。
そうなんです。
最初にハズレを引くのは失敗ではありません。
むしろ「掛けて24になる候補を出す → 足して11になるか確認 → ダメなら次の候補」という流れそのものが、因数分解の解き方なんです。
この手順、どの問題でも全く同じなので安心してください！
バッテン方式のやり方
① 左の列：掛けて x² になるものを縦に書く
② 右の列：掛けて「右端の数」になるものを縦に書く
③ バッテンに掛けて、足して「真ん中」になれば成功
ダメなら右の列を差し替えてもう一度！
バッテン方式の万能性
バッテン方式で解けるのはわかったけど、残りの3つの公式はどうするんですか？
実はね、残りの3つも全部バッテン方式で解けるんだ。
まず2つ目と3つ目の公式（2乗になるパターン）から。
(x+a)² は (x+a)(x+a) のこと。
つまり、たまたま上下の段が同じになっただけの、普通のバッテン方式なんです。
例えば x²+6x+9 なら、右の列は「掛けて9」で3と3。
バッテンに掛けると 3x と 3x、足して 6x で成功。
答えは (x+3)(x+3)、つまり (x+3)² です。
マイナス版（3つ目の公式）も、＋が−に変わるだけで全く同じです。
そして4つ目の公式。
これは今までとちょっと見た目が違いますね。
一体何が違うのでしょうか？
そう、真ん中がないんです！
今までは2乗と2乗の間に、11x とか 6x とか、何かがいました。
でも今回はいません。
「ない」ということは、数字で言うとどう表せるでしょうか？
0じゃないですか？
そうなんです！
バッテンに掛けて足した結果が 0 になれば成功、と考えればいいんです！
例えば x²−a² なら、右の列は「掛けて −a²」なので ＋a と −a。
バッテンに掛けると ＋ax と −ax、足すとちゃんと 0 になりますね。
これで因数分解クリアです！
いろいろ話しましたが、結局「バッテン方式最強じゃん」と思っていただけたらそれで十分です。
バッテン方式が使えれば4つの公式を覚えずに済む
真ん中がない式は「足して0」と考えればOK
練習問題
では実際に解いてみましょう！
全部の問題で、やることは同じです。
①まず共通因数がないか確認 → ②なければバッテン方式（掛けて右端、足して真ん中）
この流れだけ意識してみてください！
3x＋6 を因数分解しなさい
タップで答えを確認！
3(x＋2)
タップで解説を確認！
まずは①、共通因数がないかの確認から。
3xは「3×x」、6は「3×2」に直せます。
どちらにも3がいるので、共通因数は3！
図のように、3を前に抜き出して、余ったxと2を足し算でつなげて ( ) で閉じます。
答えは 3(x＋2) です！
確認として、3(x＋2) を分配法則で展開すると 3x＋6 に戻るので、正解と確かめられます。
x²＋7x＋12 を因数分解しなさい
タップで答えを確認！
(x＋3)(x＋4)
タップで解説を確認！
①共通因数はなさそうなので、②バッテン方式に進みます。
探すのは「掛けて12、足して7」になる2つの数です。
掛けて12の候補は、1と12、2と6、3と4。
足して7になるのは…3と4ですね！
図のように、左の列にxとx、右の列に＋3と＋4を置いて、バッテンに掛けると 3x と 4x。
足すと 7x で、真ん中と一致！
横の2段をそのまま ( ) で囲って、答えは (x＋3)(x＋4) です！
x²＋2x−8 を因数分解しなさい
タップで答えを確認！
(x＋4)(x−2)
タップで解説を確認！
①共通因数はないので、②バッテン方式へ。
今回は右端が「−8」とマイナスです。
掛けてマイナスになるということは、2つの数は片方がプラス、片方がマイナスということですね。
掛けて−8の候補は、＋1と−8、−1と＋8、＋2と−4、−2と＋4。
この中で足して＋2になるのは…−2と＋4です！
図のように、右の列に＋4と−2を置いて、バッテンに掛けると ＋4x と −2x。
足すと ＋2x で、真ん中と一致！
答えは (x＋4)(x−2) です！
マイナスが混ざっても、やること（掛けて右端、足して真ん中）は全く同じですね。
x²＋6x＋9 を因数分解しなさい
タップで答えを確認！
(x＋3)²
タップで解説を確認！
①共通因数はないので、②バッテン方式へ。
探すのは「掛けて9、足して6」になる2つの数。
掛けて9の候補は、1と9、3と3。
足して6になるのは…3と3です！
図のように、右の列は＋3と＋3。上下の段がたまたま同じになりました。
バッテンに掛けると 3x と 3x、足して 6x で一致！
答えは (x＋3)(x＋3)、まとめて (x＋3)² と書きます。
「2乗の公式」を覚えていなくても、バッテン方式でちゃんと解けましたね！
x²−16 を因数分解しなさい
タップで答えを確認！
(x＋4)(x−4)
タップで解説を確認！
①共通因数はないので、②バッテン方式へ。
あれ、真ん中の項がない…と思ったあなた。
本文で話した通り、「真ん中がない」＝「真ん中が0」と考えましょう！
つまり探すのは「掛けて−16、足して0」になる2つの数です。
足して0ということは、＋と−で打ち消し合うペア。
掛けて−16で打ち消し合うのは…＋4と−4です！
図のように、バッテンに掛けると ＋4x と −4x。
足すとちゃんと0になって、真ん中（＝ない）と一致！
答えは (x＋4)(x−4) です！
この「真ん中がなければ0と考える」テクニック、他の問題でもぜひ使ってみてください！
まとめ
覚えることが多くて嫌いになりそうだったけど、面積のパズルだと思ったら因数分解が怖くなくなりました！
完璧！
共通因数とバッテン方式。この2つだけ覚えて帰ってね。
はい！ということで今回のまとめです。
因数分解＝数や式を掛け算の形に変形すること（展開の逆）
覚えるのは共通因数とバッテン方式の2つだけ
因数分解は「面積から縦と横を逆に探すパズル」
探すのは「掛けて右端、足して真ん中」になる2つの数
まずは共通因数の確認から。真ん中がない式は「足して0」
あらためて言葉でも整理しますね。
因数分解とは、数や式を掛け算の形に変形すること。展開のちょうど逆の操作でした。
そして、展開が「縦と横から面積を求める」作業だったのに対して、因数分解は「面積から縦と横を逆に探すパズル」。
そのパズルを解く道具が、共通因数とバッテン方式の2つです。
まず式の中に共通因数がないかを確認して、なければバッテン方式で「掛けて右端、足して真ん中」になる2つの数を探す。
ハズレたら右の列を差し替えて、もう一度。
どんな問題が来ても、この流れを繰り返すだけ。
因数分解は入試でもほぼ必ず出る、慣れれば確実な得点源になる単元です。
一つひとつ理解を積み重ねていけば、必ず解ける問題は増えていきます！
ここまで読んでくださって、本当にありがとうございました！
わからなくなったら、いつでもこの記事に戻ってきてくださいね。
他の記事ものぞいてもらえるとうれしいです！
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